📊 Calculateur PGCD et PPCM

Calculez le Plus Grand Commun Diviseur et le Plus Petit Commun Multiple avec étapes détaillées

📚 Comprendre le PGCD et le PPCM

🔍 PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Définition : Le plus grand entier positif qui divise tous les nombres donnés.

Aussi appelé : GCD (Greatest Common Divisor)

PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b

Exemple :

PGCD(12, 18) = 6

Car 6 est le plus grand diviseur commun de 12 et 18

🔢 PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

Définition : Le plus petit entier positif divisible par tous les nombres donnés.

Aussi appelé : LCM (Least Common Multiple)

PPCM(a, b) = (a × b) / PGCD(a, b)

Exemple :

PPCM(12, 18) = 36

Car 36 est le plus petit multiple commun de 12 et 18

🎓 Méthodes de Calcul

Méthode 1 : Factorisation Première

Pour le PGCD :

1. Décomposer chaque nombre en facteurs premiers

2. Identifier les facteurs premiers communs

3. Multiplier les facteurs communs avec leur plus petite puissance

Exemple : PGCD(24, 36)
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
PGCD = 2² × 3 = 12
Pour le PPCM :

1. Décomposer chaque nombre en facteurs premiers

2. Prendre chaque facteur premier avec sa plus grande puissance

3. Multiplier tous ces facteurs

Exemple : PPCM(24, 36)
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
PPCM = 2³ × 3² = 72

Méthode 2 : Algorithme d'Euclide (pour PGCD)

Principe : Division successive jusqu'à obtenir un reste de 0

PGCD(a, b) = PGCD(b, a mod b)
Exemple : PGCD(48, 18)
48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 + 6
12 = 6 × 2 + 0
PGCD = 6 (dernier reste non nul)

Méthode 3 : Relation PGCD-PPCM

Pour deux nombres a et b :

PPCM(a, b) = (a × b) / PGCD(a, b)
Exemple : PPCM(12, 18)
PGCD(12, 18) = 6
PPCM(12, 18) = (12 × 18) / 6 = 36

🌟 Applications Pratiques

Domaine Application du PGCD Application du PPCM
Fractions Simplification de fractions Addition/soustraction avec dénominateurs différents
Géométrie Division de surfaces en carrés égaux maximum Pavage avec tuiles de tailles différentes
Temps Diviseur commun d'intervalles Synchronisation d'événements répétitifs
Distribution Partage équitable en groupes maximum Organisation d'événements simultanés
Musique Simplification de rythmes Synchronisation de tempos différents

💡 Exemples Concrets

Exemple 1 : Distribution de Cadeaux

Problème : Vous avez 24 bonbons et 36 chocolats. Vous voulez les distribuer en paquets identiques sans reste. Quel est le nombre maximum de paquets ?

Solution :

PGCD(24, 36) = 12

Réponse : 12 paquets (chacun avec 2 bonbons et 3 chocolats)

Exemple 2 : Feux de Circulation

Problème : Un feu devient vert toutes les 12 secondes, un autre toutes les 18 secondes. Après combien de temps seront-ils verts ensemble ?

Solution :

PPCM(12, 18) = 36

Réponse : 36 secondes

Exemple 3 : Fractions

Problème : Simplifier la fraction 24/36

Solution :

PGCD(24, 36) = 12

24 ÷ 12 = 2

36 ÷ 12 = 3

Réponse : 24/36 = 2/3

Exemple 4 : Planification

Problème : Un atelier a lieu tous les 15 jours, un autre tous les 20 jours. Dans combien de jours auront-ils lieu le même jour ?

Solution :

PPCM(15, 20) = 60

Réponse : 60 jours

📋 Propriétés Importantes

Propriétés du PGCD

  • PGCD(a, a) = a
  • PGCD(a, 1) = 1
  • PGCD(a, 0) = a
  • PGCD(a, b) = PGCD(b, a) (commutativité)
  • PGCD(a, b) = PGCD(a - b, b) si a > b
  • Si PGCD(a, b) = 1, alors a et b sont premiers entre eux

Propriétés du PPCM

  • PPCM(a, a) = a
  • PPCM(a, 1) = a
  • PPCM(a, b) = PPCM(b, a) (commutativité)
  • PPCM(a, b) × PGCD(a, b) = a × b
  • Si PGCD(a, b) = 1, alors PPCM(a, b) = a × b
  • PPCM(a, b) ≥ max(a, b)

🎯 Cas Particuliers

Cas PGCD PPCM Exemple
Nombres identiques Le nombre lui-même Le nombre lui-même PGCD(15, 15) = 15
PPCM(15, 15) = 15
Nombres premiers entre eux 1 Produit des nombres PGCD(7, 11) = 1
PPCM(7, 11) = 77
Un nombre divise l'autre Le plus petit nombre Le plus grand nombre PGCD(12, 36) = 12
PPCM(12, 36) = 36
Avec 1 1 L'autre nombre PGCD(42, 1) = 1
PPCM(42, 1) = 42
Puissances de 2 Plus petite puissance Plus grande puissance PGCD(8, 32) = 8
PPCM(8, 32) = 32